1、归一问题

　　【含义】

　　在解题时，先求出一份是多少(即单一量)，然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

　　【数量关系】

　　总量份数=1份数量

　　1份数量所占份数=所求几份的数量

　　另一总量(总量份数)=所求份数

　　【解题思路和方法】

　　先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

　　例1

　　买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱?

　　解

　　(1)买1支铅笔多少钱?0.65=0.12(元)

　　(2)买16支铅笔需要多少钱?0.1216=1.92(元)

　　列成综合算式0.6516=0.1216=1.92(元)

　　答：需要1.92元。

　　例2

　　3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?

　　解

　　(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?9033=10(公顷)

　　(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?1056=300(公顷)

　　列成综合算式903356=1030=300(公顷)

　　答：5台拖拉机6天耕地300公顷。

　　例3

　　5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?

　　解

　　(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?10054=5(吨)

　　(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?57=35(吨)

　　(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?10535=3(次)

　　列成综合算式105(100547)=3(次)

　　答：需要运3次。

　　2、归总问题

　　【含义】

　　解题时，常常先找出总数量，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓总数量是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

　　【数量关系】

　　1份数量份数=总量

　　总量1份数量=份数

　　总量另一份数=另一每份数量

　　【解题思路和方法】

　　先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

　　例1

　　服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套?

　　解

　　(1)这批布总共有多少米?3.2791=2531.2(米)

　　(2)现在可以做多少套?2531.22.8=904(套)

　　列成综合算式3.27912.8=904(套)

　　答：现在可以做904套。

　　例2

　　小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?

　　解

　　(1)《红岩》这本书总共多少页?2412=288(页)

　　(2)小明几天可以读完《红岩》?28836=8(天)

　　列成综合算式241236=8(天)

　　答：小明8天可以读完《红岩》。

　　例3

　　食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?

　　解

　　(1)这批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)

　　(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)

　　列成综合算式5030(50+10)=150060=25(天)

　　答：这批蔬菜可以吃25天。

　　3、和差问题

　　【含义】

　　已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

　　【数量关系】

　　大数=(和+差)2

　　小数=(和-差)2

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。

　　例1

　　甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?

　　解

　　甲班人数=(98+6)2=52(人)

　　乙班人数=(98-6)2=46(人)

　　答：甲班有52人，乙班有46人。

　　例2

　　长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

　　解

　　长=(18+2)2=10(厘米)

　　宽=(18-2)2=8(厘米)

　　长方形的面积=108=80(平方厘米)

　　答：长方形的面积为80平方厘米。

　　例3

　　有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

　　解

　　甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

　　甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)

　　丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)

　　乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

　　答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

　　例4

　　甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?

　　解

　　从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(142+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+142+3)2=64(筐)

　　乙车筐数=97-64=33(筐)

　　答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

　　4、和倍问题

　　【含义】

　　已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

　　【数量关系】

　　总和(几倍+1)=较小的数

　　总和-较小的数=较大的数

　　较小的数几倍=较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵?

　　解

　　(1)杏树有多少棵?248(3+1)=62(棵)

　　(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

　　答：杏树有62棵，桃树有186棵。

　　例2

　　东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?

　　解

　　(1)西库存粮数=480(1.4+1)=200(吨)

　　(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

　　答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

　　例3

　　甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

　　解

　　每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，

　　那么，几天以后甲站的车辆数减少为

　　(52+32)(2+1)=28(辆)

　　所求天数为(52-28)(28-24)=6(天)

　　答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

　　例4

　　甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?

　　解

　　乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

　　因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;

　　又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

　　这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，

　　甲数=(170+4-6)(1+2+3)=28

　　乙数=282-4=52

　　丙数=283+6=90

　　答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

　　5、差倍问题

　　【含义】

　　已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几)，要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

　　【数量关系】

　　两个数的差(几倍-1)=较小的数

　　较小的数几倍=较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵?

　　解

　　(1)杏树有多少棵?124(3-1)=62(棵)

　　(2)桃树有多少棵?623=186(棵)

　　答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

　　例2

　　爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?

　　解

　　(1)儿子年龄=27(4-1)=9(岁)

　　(2)爸爸年龄=94=36(岁)

　　答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

　　例3

　　商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?

　　解

　　如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此

　　上月盈利=(30-12)(2-1)=18(万元)

　　本月盈利=18+30=48(万元)

　　答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

　　例4

　　粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

　　解

　　由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此

　　剩下的小麦数量=(138-94)(3-1)=22(吨)

　　运出的小麦数量=94-22=72(吨)

　　运粮的天数=729=8(天)

　　答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

　　6、倍比问题

　　【含义】

　　有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

　　【数量关系】

　　总量一个数量=倍数

　　另一个数量倍数=另一总量

　　【解题思路和方法】

　　先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

　　例1

　　100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?

　　解

　　(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)

　　(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)

　　列成综合算式40(3700100)=1480(千克)

　　答：可以榨油1480千克。

　　例2

　　今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?

　　解

　　(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)

　　(2)共植树多少棵?400160=64000(棵)

　　列成综合算式400(48000300)=64000(棵)

　　答：全县48000名师生共植树64000棵。

　　例3

　　凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

　　解

　　(1)800亩是4亩的几倍?8004=200(倍)

　　(2)800亩收入多少元?11111200=2222200(元)

　　(3)16000亩是800亩的几倍?16000800=20(倍)

　　(4)16000亩收入多少元?222220020=44444000(元)

　　答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

　　7、相遇问题

　　【含义】

　　两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

　　【数量关系】

　　相遇时间=总路程(甲速+乙速)

　　总路程=(甲速+乙速)相遇时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

　　例1

　　南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇?

　　解

　　392(28+21)=8(小时)

　　答：经过8小时两船相遇。

　　例2

　　小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?

　　解

　　第二次相遇可以理解为二人跑了两圈。

　　因此总路程为4002

　　相遇时间=(4002)(5+3)=100(秒)

　　答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

　　例3

　　甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

　　解

　　两人在距中点3千米处相遇是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，

　　相遇时间=(32)(15-13)=3(小时)

　　两地距离=(15+13)3=84(千米)

　　答：两地距离是84千米。

　　8、追及问题

　　【含义】

　　两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

　　【数量关系】

　　追及时间=追及路程(快速-慢速)

　　追及路程=(快速-慢速)追及时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1

　　好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?

　　解

　　(1)劣马先走12天能走多少千米?7512=900(千米)

　　(2)好马几天追上劣马?900(120-75)=20(天)

　　列成综合算式7512(120-75)=90045=20(天)

　　答：好马20天能追上劣马。

　　例2

　　小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

　　解

　　小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用秒，所以小亮的速度是

　　(500-200)

　　=300100=3(米)

　　答：小亮的速度是每秒3米。

　　例3

　　我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?

　　解

　　敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是(22-16)小时，这段时间敌人逃跑的路程是千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

　　追及时间=(30-10)

　　=22020=11(小时)

　　答：解放军在11小时后可以追上敌人。

　　例4

　　一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

　　解

　　这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车(162)千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

　　这个时间为162(48-40)=4(小时)

　　所以两站间的距离为(48+40)4=352(千米)

　　列成综合算式(48+40)

　　=884

　　=352(千米)

　　答：甲乙两站的距离是352千米。

　　9、植树问题

　　【含义】

　　按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

　　【数量关系】

　　线形植树棵数=距离棵距+1

　　环形植树棵数=距离棵距

　　方形植树棵数=距离棵距-4

　　三角形植树棵数=距离棵距-3

　　面积植树棵数=面积(棵距行距)

　　【解题思路和方法】

　　先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

　　例1

　　一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?

　　解

　　1362+1=68+1=69(棵)

　　答：一共要栽69棵垂柳。

　　例2

　　一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树?

　　解

　　4004=100(棵)

　　答：一共能栽100棵白杨树。

　　例3

　　一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯?

　　解

　　22048-4=110-4=106(个)

　　答：一共可以安装106个照明灯。

　　例4

　　给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖?

　　解

　　96(0.60.4)=960.24=400(块)

　　答：至少需要400块地板砖。

　　例5

　　一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯?

　　解

　　(1)桥的一边有多少个电杆?50050+1=11(个)

　　(2)桥的两边有多少个电杆?112=22(个)

　　(3)大桥两边可安装多少盏路灯?222=44(盏)

　　答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。

　　10、年龄问题

　　【含义】

　　这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

　　【数量关系】

　　年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住年龄差不变这个特点。

　　【解题思路和方法】

　　可以利用差倍问题的解题思路和方法。

　　例1

　　爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢?

　　解

　　355=7(倍)

　　(35+1)(5+1)=6(倍)

　　答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

　　明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

　　例2

　　母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍?

　　解

　　(1)母亲比女儿的年龄大多少岁?37-7=30(岁)

　　(2)几年后母亲的年龄是女儿的4倍?30(4-1)-7=3(年)

　　列成综合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)

　　答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。

　　例3

　　甲对乙说：当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁。求甲乙现在的岁数各是多少?

　　解

　　这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

　　过去某一年 今年 将来某一年

　　甲 □岁 △岁 61岁

　　乙 4岁 □岁 △岁

　　表中两个□表示同一个数，两个△表示同一个数。

　　因为两个人的年龄差总相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，

　　因此二人年龄差为(61-4)3=19(岁)

　　甲今年的岁数为△=61-19=42(岁)

　　乙今年的岁数为□=42-19=23(岁)

　　答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。

　　11、行船问题

　　【含义】

　　行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

　　【数量关系】

　　(顺水速度+逆水速度)2=船速

　　(顺水速度-逆水速度)2=水速

　　顺水速=船速2-逆水速=逆水速+水速2

　　逆水速=船速2-顺水速=顺水速-水速2

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?

　　解

　　由条件知，顺水速=船速+水速=3208，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时3208-15=25(千米)

　　船的逆水速为25-15=10(千米)

　　船逆水行这段路程的时间为32010=32(小时)

　　答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

　　例2

　　甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间?

　　解

　　由题意得甲船速+水速=36010=36

　　甲船速-水速=36018=20

　　可见(36-20)相当于水速的2倍，

　　所以，水速为每小时(36-20)2=8(千米)

　　又因为，乙船速-水速=36015，

　　所以，乙船速为36015+8=32(千米)

　　乙船顺水速为32+8=40(千米)

　　所以，乙船顺水航行360千米需要

　　36040=9(小时)

　　答：乙船返回原地需要9小时。

　　12、列车问题

　　【含义】

　　这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

　　【数量关系】

　　火车过桥：过桥时间=(车长+桥长)车速

　　火车追及：追及时间=(甲车长+乙车长+距离)

　　(甲车速-乙车速)

　　火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离)

　　(甲车速+乙车速)

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米?

　　解

　　火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

　　(1)火车3分钟行多少米?9003=2700(米)

　　(2)这列火车长多少米?2700-2400=300(米)

　　列成综合算式9003-2400=300(米)

　　答：这列火车长300米。

　　例2

　　一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?

　　解

　　火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为

　　8125-200=800(米)

　　答：大桥的长度是800米。

　　例3

　　一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间?

　　解

　　从追上到追过，快车比慢车要多行(225+140)米，而快车比慢车每秒多行(22-17)米，因此，所求的时间为

　　(225+140)(22-17)=73(秒)

　　答：需要73秒。

　　例4

　　一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间?

　　解

　　如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

　　150(22+3)=6(秒)

　　答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

　　13、时钟问题

　　【含义】

　　就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

　　【数量关系】

　　分针的速度是时针的12倍，

　　二者的速度差为11/12。

　　通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

　　【解题思路和方法】

　　变通为追及问题后可以直接利用公式。

　　例1

　　从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合?

　　解

　　钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格;时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以

　　分针追上时针的时间为20(1-1/12)22(分)

　　答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

　　例2

　　四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角?

　　解

　　钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两种情况)。四点整的时候，分针在时针后(54)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走(54-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(54+15)格。再根据1分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成直角的时间。

　　(54-15)(1-1/12)6(分)

　　(54+15)(1-1/12)38(分)

　　答：4点06分及4点38分时两针成直角。

　　例3

　　六点与七点之间什么时候时针与分针重合?

　　解

　　六点整的时候，分针在时针后(56)格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。

　　(56)(1-1/12)33(分)

　　答：6点33分的时候分针与时针重合。

　　14、盈亏问题

　　【含义】

　　根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

　　【数量关系】

　　一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

　　参加分配总人数=(盈+亏)分配差

　　如果两次都盈或都亏，则有：

　　参加分配总人数=(大盈-小盈)分配差

　　参加分配总人数=(大亏-小亏)分配差

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1

　　给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友?有多少个苹果?

　　解

　　按照参加分配的总人数=(盈+亏)分配差的数量关系：

　　(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)

　　(2)有多少个苹果?312+11=47(个)

　　答：有小朋友12人，有47个苹果。

　　例2

　　修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天;如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米?

　　解

　　题中原定完成任务的天数，就相当于参加分配的总人数，按照参加分配的总人数=(大亏-小亏)分配差的数量关系，可以得知

　　原定完成任务的天数为

　　(2608-3004)(300-260)=22(天)

　　这条路全长为300(22+4)=7800(米)

　　答：这条路全长7800米。

　　例3

　　组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人;如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车?多少人?

　　解

　　本题中的车辆数就相当于参加分配的总人数，于是就有

　　(1)有多少车?(30-0)(45-40)=6(辆)

　　(2)有多少人?406+30=270(人)

　　答：有6辆车，有270人。

　　15、工程问题

　　【含义】

　　工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出一项工程、一块土地、一条水渠、一件工作等，在解题时，常常用单位1表示工作总量。

　　【数量关系】

　　解答工程问题的关键是把工作总量看作1，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

　　工作量=工作效率工作时间

　　工作时间=工作量工作效率

　　工作时间=总工作量(甲工作效率+乙工作效率)

　　【解题思路和方法】

　　变通后可以利用上述数量关系的公式。

　　例1

　　一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?

　　解

　　题中的一项工程是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位1。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+1/15)。

　　由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)

　　答：两队合做需要6天完成。

　　例2

　　一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?

　　解一

　　设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成(1/6-1/8)，二人合做时每小时完成(1/6+1/8)。因为二人合做需要小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

　　(1)每小时甲比乙多做多少零件?

　　24=7(个)

　　(2)这批零件共有多少个?

　　7(1/6-1/8)=168(个)

　　答：这批零件共有168个。

　　解二

　　上面这道题还可以用另一种方法计算：

　　两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3

　　由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7

　　所以，这批零件共有241/7=168(个)

　　例3

　　一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?

　　解

　　必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

　　6012=56010=66015=4

　　因此余下的工作量由乙丙合做还需要

　　(60-52)(6+4)=5(小时)

　　答：还需要5小时才能完成。

　　例4

　　一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?

　　解

　　注(排)水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

　　要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

　　我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为(145)，2个进水管15小时注水量为(1215)，从而可知

　　每小时的排水量为(1215-145)(15-5)=1

　　即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

　　一池水的总工作量为145-15=15

　　又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，

　　所以，2小时内注满一池水

　　至少需要多少个进水管?(15+12)(12)

　　=8.59(个)

　　答：至少需要9个进水管。

　　16、正反比例问题

　　【含义】

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

　　【数量关系】

　　判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

　　【解题思路和方法】

　　解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

　　正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

　　例1

　　修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米?

　　解

　　由条件知，公路总长不变。

　　原已修长度∶总长度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

　　现已修长度∶总长度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

　　比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于(4-3)份，从而知公路总长为300(4-3)12=3600(米)

　　答：这条公路总长3600米。

　　例2

　　张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题?

　　解

　　做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

　　设91分钟可以做X应用题则有28∶4=91∶X

　　28X=914X=91428X=13

　　答：91分钟可以做13道应用题。

　　例3

　　孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完?

　　解

　　书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

　　设X天可以看完，就有24∶36=X∶15

　　36X=2415X=10

　　答：10天就可以看完。

　　17、按比例分配问题

　　【含义】

　　所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

　　【数量关系】

　　从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

　　【解题思路和方法】

　　先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母，比的前后项分别作分子)，再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

　　例1

　　学校把植树560棵的任务按人数分配给三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?

　　解

　　总份数为47+48+45=140

　　一班植树56047/140=188(棵)

　　二班植树56048/140=192(棵)

　　三班植树56045/140=180(棵)

　　答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

　　例2

　　用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米?

　　解

　　3+4+5=12603/12=15(厘米)

　　604/12=20(厘米)

　　605/12=25(厘米)

　　答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

　　例3

　　从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

　　解

　　如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到

　　1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

　　9+6+2=17179/17=9

　　176/17=6172/17=2

　　答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。

　　例4

　　某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人?

　　解

　　80(12-8)(8+12+21)=820(人)

　　答：三个车间一共820人。

　　18、百分数问题

　　【含义】

　　百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需;分数既可以表示率，也可以表示量，而百分数只能表示率;分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数;百分数有一个专门的记号%。

　　在实际中和常用到百分点这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

　　【数量关系】

　　掌握百分数、标准量比较量三者之间的数量关系：

　　百分数=比较量标准量

　　标准量=比较量百分数

　　【解题思路和方法】

　　一般有三种基本类型：

　　(1)求一个数是另一个数的百分之几;

　　(2)已知一个数，求它的百分之几是多少;

　　(3)已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

　　例1

　　仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几?

　　解

　　(1)用去的占720(720+6480)=10%

　　(2)剩下的占6480(720+6480)=90%

　　答：用去了10%，剩下90%。

　　例2

　　红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几?

　　解

　　本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以(525-420)525=0.2=20%

　　或者1-420525=0.2=20%

　　答：男职工人数比女职工少20%。

　　例3

　　红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几?

　　解

　　本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此

　　(525-420)420=0.25=25%

　　或者525420-1=0.25=25%

　　答：女职工人数比男职工多25%。

　　例4

　　红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几?

　　解

　　(1)男职工占420(420+525)=0.444=44.4%

　　(2)女职工占525(420+525)=0.556=55.6%

　　答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。

　　19、牛吃草问题

　　【含义】

　　牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫牛顿问题。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

　　【数量关系】

　　草总量=原有草量+草每天生长量天数

　　【解题思路和方法】

　　解这类题的关键是求出草每天的生长量。

　　例1

　　一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完?

　　解

　　草是均匀生长的，所以，草总量=原有草量+草每天生长量天数。求多少头牛5天可以把草吃完，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛?设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

　　(1)求草每天的生长量

　　因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

　　11020=原有草量+20天内生长量

　　同理11510=原有草量+10天内生长量

　　由此可知(20-10)天内草的生长量为

　　11020-11510=50

　　因此，草每天的生长量为50(20-10)=5

　　(2)求原有草量

　　原有草量=10天内总草量-10内生长量=11510-510=100

　　(3)求5天内草总量

　　5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+55=125

　　(4)求多少头牛5天吃完草

　　因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

　　因此5天吃完草需要牛的头数1255=25(头)

　　答：需要5头牛5天可以把草吃完。

　　例2

　　一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完;如果只有5人淘

　　水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完?

　　解

　　这是一道变相的牛吃草问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数(相当于牛数)，求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

　　(1)求每小时进水量

　　因为，3小时内的总水量=1123=原有水量+3小时进水量

　　10小时内的总水量=1510=原有水量+10小时进水量

　　所以，(10-3)小时内的进水量为1510-1123=14

　　因此，每小时的进水量为14(10-3)=2

　　(2)求淘水前原有水量

　　原有水量=1123-3小时进水量=36-23=30

　　(3)求17人几小时淘完

　　17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为(17-2)，所以17人淘完水的时间是

　　30(17-2)=2(小时)

　　答：17人2小时可以淘完水。

　　20、鸡兔同笼问题

　　【含义】

　　这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

　　【数量关系】

　　第一鸡兔同笼问题：

　　假设全都是鸡，则有

　　兔数=(实际脚数-2鸡兔总数)(4-2)

　　假设全都是兔，则有

　　鸡数=(4鸡兔总数-实际脚数)(4-2)

　　第二鸡兔同笼问题：

　　假设全都是鸡，则有

　　兔数=(2鸡兔总数-鸡与兔脚之差)(4+2)

　　假设全都是兔，则有

　　鸡数=(4鸡兔总数+鸡与兔脚之差)(4+2)

　　【解题思路和方法】

　　解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡;如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

　　例1

　　长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡?

　　解

　　假设35只全为兔，则

　　鸡数=(435-94)(4-2)=23(只)

　　兔数=35-23=12(只)

　　也可以先假设35只全为鸡，则

　　兔数=(94-235)(4-2)=12(只)

　　鸡数=35-12=23(只)

　　答：有鸡23只，有兔12只。

　　例2

　　2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩?

　　解

　　此题实际上是改头换面的鸡兔同笼问题。每亩菠菜施肥(12)千克与每只鸡有两个脚相对应，每亩白菜施肥(35)千克与每只兔有4只脚相对应，16亩与鸡兔总数相对应，9千克与鸡兔总脚数相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

　　白菜亩数=(9-1216)(35-12)=10(亩)

　　答：白菜地有10亩。

　　例3

　　李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本?

　　解

　　此题可以变通为鸡兔同笼问题。假设45本全都是日记本，则有

　　作业本数=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)

　　日记本数=45-15=30(本)

　　答：作业本有15本，日记本有30本。

　　例4

　　(第二鸡兔同笼问题)鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只?

　　解

　　假设100只全都是鸡，则有

　　兔数=(2100-80)(4+2)=20(只)

　　鸡数=100-20=80(只)

　　答：有鸡80只，有兔20只。

　　例5

　　有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人?

　　解

　　假设全为大和尚，则共吃馍(3100)个，比实际多吃(3100-100)个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以小换大，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍(3-1/3)个。因此，共有小和尚

　　(3100-100)(3-1/3)=75(人)

　　共有大和尚100-75=25(人)

　　答：共有大和尚25人，有小和尚75人。

　　21、方阵问题

　　【含义】

　　将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

　　【数量关系】

　　(1)方阵每边人数与四周人数的关系：

　　四周人数=(每边人数-1)4

　　每边人数=四周人数4+1

　　(2)方阵总人数的求法：

　　实心方阵：总人数=每边人数每边人数

　　空心方阵：总人数=(外边人数)?-(内边人数)?

　　内边人数=外边人数-层数2

　　(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

　　总人数=(每边人数-层数)层数4

　　【解题思路和方法】

　　方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

　　例1

　　在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?

　　解

　　2222=484(人)

　　答：参加体操表演的同学一共有484人。

　　例2

　　有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。

　　解

　　10-(10-32)?

　　=84(人)

　　答：全方阵84人。

　　例3

　　有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人?

　　解

　　(1)中空方阵外层每边人数=524+1=14(人)

　　(2)中空方阵内层每边人数=284-1=6(人)

　　(3)中空方阵的总人数=1414-66=160(人)

　　答：这队学生共160人。

　　例4

　　一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个?

　　解

　　(1)纵横方向各增加一层所需棋子数=4+9=13(只)

　　(2)纵横增加一层后正方形每边棋子数=(13+1)2=7(只)

　　(3)原有棋子数=77-9=40(只)

　　答：棋子有40只。

　　例5

　　有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树?

　　解

　　第一种方法：1+2+3+4+5=15(棵)

　　第二种方法：(5+1)52=15(棵)

　　答：这个三角形树林一共有15棵树。